60. A solid cube of side 12 cm is cut into small solid cubes of side 4 cm each. What will be the relation between the total surface area of the original cube and the new total surface area of the small cubes so formed ?
(1) New total surface area will be thrice the original total surface area.
(2) New total surface area will be 1/2 of the original total surface area.
(3) New total surface area will be twice the original total surface area.
(4) New total surface area will be 1/3 of the original total surface area.
Direction: Answer the following questions by selecting the correct/most appropriate options.
Click To Show Answer
उत्तर : (1) New total surface area will be thrice the original total surface area.
कारण: बड़े घन की भुजा $L = 12$ cm है। छोटे घन की भुजा $s = 4$ cm है।
बड़े घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (SA_बड़ा) $= 6L^2 = 6 \times 12^2 = 6 \times 144 = 864$ cm$^2$।
बड़े घन का आयतन $= L^3 = 12^3 = 1728$ cm$^3$।
छोटे घन का आयतन $= s^3 = 4^3 = 64$ cm$^3$।
छोटे घनों की संख्या = (बड़े घन का आयतन) / (छोटे घन का आयतन) $= 1728 / 64 = 27$।
एक छोटे घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल (SA_छोटा) $= 6s^2 = 6 \times 4^2 = 6 \times 16 = 96$ cm$^2$।
सभी छोटे घनों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (SA_कुल छोटा) = छोटे घनों की संख्या $\times$ एक छोटे घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 27 \times 96$।
$27 \times 96 = 2592$ cm$^2$।
नया कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल और प्रारंभिक कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के बीच अनुपात:
अनुपात = SA_कुल छोटा / SA_बड़ा $= 2592 / 864 = 3$।
नया कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल प्रारंभिक कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का 3 गुना हो जाएगा।
एक वैकल्पिक तरीका यह है कि जब एक बड़े घन को $n \times n \times n$ छोटे घनों में काटा जाता है (जहां बड़ा घन $n$ छोटे घनों की भुजा के बराबर है, $n=L/s=12/4=3$), तो नए छोटे घनों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल मूल बड़े घन के पृष्ठीय क्षेत्रफल का $n$ गुना हो जाता है। यहाँ $n=3$，इसलिए पृष्ठीय क्षेत्रफल 3 गुना हो जाएगा।
(2) आधा, (3) दुगुना, (4) एक तिहाई – ये संबंध गलत सूत्रों, गणनाओं, या आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल के बीच संबंध की गलत समझ से प्राप्त होंगे।
कारण: बड़े घन की भुजा $L = 12$ cm है। छोटे घन की भुजा $s = 4$ cm है।
बड़े घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (SA_बड़ा) $= 6L^2 = 6 \times 12^2 = 6 \times 144 = 864$ cm$^2$।
बड़े घन का आयतन $= L^3 = 12^3 = 1728$ cm$^3$।
छोटे घन का आयतन $= s^3 = 4^3 = 64$ cm$^3$।
छोटे घनों की संख्या = (बड़े घन का आयतन) / (छोटे घन का आयतन) $= 1728 / 64 = 27$।
एक छोटे घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल (SA_छोटा) $= 6s^2 = 6 \times 4^2 = 6 \times 16 = 96$ cm$^2$।
सभी छोटे घनों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (SA_कुल छोटा) = छोटे घनों की संख्या $\times$ एक छोटे घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 27 \times 96$।
$27 \times 96 = 2592$ cm$^2$।
नया कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल और प्रारंभिक कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के बीच अनुपात:
अनुपात = SA_कुल छोटा / SA_बड़ा $= 2592 / 864 = 3$।
नया कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल प्रारंभिक कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का 3 गुना हो जाएगा।
एक वैकल्पिक तरीका यह है कि जब एक बड़े घन को $n \times n \times n$ छोटे घनों में काटा जाता है (जहां बड़ा घन $n$ छोटे घनों की भुजा के बराबर है, $n=L/s=12/4=3$), तो नए छोटे घनों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल मूल बड़े घन के पृष्ठीय क्षेत्रफल का $n$ गुना हो जाता है। यहाँ $n=3$，इसलिए पृष्ठीय क्षेत्रफल 3 गुना हो जाएगा।
(2) आधा, (3) दुगुना, (4) एक तिहाई – ये संबंध गलत सूत्रों, गणनाओं, या आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल के बीच संबंध की गलत समझ से प्राप्त होंगे।
Pages: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270