11. k के किस मान के लिए, समीकरण निकाय x+ky=2 और 3x+2y=-5 का एक अनूठा हल है?
(A) $-\frac{2}{3}$
(B) 1
(C) 3
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं
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उत्तर : (D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
कारण: दो रैखिक समीकरणों a$_1$x + b$_1$y = c$_1$ और a$_2$x + b$_2$y = c$_2$ के निकाय का एक अनूठा हल होता है यदि $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$। दिए गए समीकरण निकाय में, a$_1$ = 1, b$_1$ = k, a$_2$ = 3, और b$_2$ = 2। अनूठे हल के लिए, $\frac{1}{3} \neq \frac{k}{2}$ होना चाहिए। इसका अर्थ है 2 $\neq$ 3k, या k $\neq \frac{2}{3}$। इसलिए, k के $\frac{2}{3}$ के अलावा किसी भी वास्तविक मान के लिए समीकरण निकाय का एक अनूठा हल होगा। चूंकि विकल्पों में $\frac{2}{3}$ को छोड़कर अन्य मान संभव हैं, और विकल्प (D) उपर्युक्त में से एक से अधिक दिया गया है, और k का मान $\frac{2}{3}$ नहीं हो सकता है, इसलिए k के अनेक मानों के लिए इसका अद्वितीय हल हो सकता है और (D) सही है।
कारण: दो रैखिक समीकरणों a$_1$x + b$_1$y = c$_1$ और a$_2$x + b$_2$y = c$_2$ के निकाय का एक अनूठा हल होता है यदि $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$। दिए गए समीकरण निकाय में, a$_1$ = 1, b$_1$ = k, a$_2$ = 3, और b$_2$ = 2। अनूठे हल के लिए, $\frac{1}{3} \neq \frac{k}{2}$ होना चाहिए। इसका अर्थ है 2 $\neq$ 3k, या k $\neq \frac{2}{3}$। इसलिए, k के $\frac{2}{3}$ के अलावा किसी भी वास्तविक मान के लिए समीकरण निकाय का एक अनूठा हल होगा। चूंकि विकल्पों में $\frac{2}{3}$ को छोड़कर अन्य मान संभव हैं, और विकल्प (D) उपर्युक्त में से एक से अधिक दिया गया है, और k का मान $\frac{2}{3}$ नहीं हो सकता है, इसलिए k के अनेक मानों के लिए इसका अद्वितीय हल हो सकता है और (D) सही है।
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