16. एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई, इसके आधार से 6 से० मी० कम है। यदि अतिभुज (कर्ण) $\sqrt{218}$ से० मी० है, तो अन्य दो भुजाएँ (से० मी० में) हैं
(A) 5 और 11
(B) 9 और 15
(C) 10 और 16
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं
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उत्तर : (E) उपर्युक्त में से कोई नहीं
कारण: माना समकोण त्रिभुज का आधार b से० मी० है। ऊँचाई (h) आधार से 6 से० मी० कम है, इसलिए h = b – 6 से० मी०। अतिभुज (कर्ण) c = $\sqrt{218}$ से० मी० है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, h$^2$ + b$^2$ = c$^2$ (b-6)$^2$ + b$^2$ = $(\sqrt{218})^2$ b$^2$ – 12b + 36 + b$^2$ = 218 2b$^2$ – 12b + 36 – 218 = 0 2b$^2$ – 12b – 182 = 0 पूरी समीकरण को 2 से भाग देने पर: b$^2$ – 6b – 91 = 0 इस द्विघात समीकरण को हल करने पर, हम पाएंगे कि इसके पूर्णांक हल नहीं हैं। वैकल्पिक रूप से, यदि भुजाएं (A) 5 और 11 हैं, तो $5^2 + 11^2$ = 25 + 121 = 146 $\neq$ 218 और ऊँचाई आधार से 6 कम नहीं है। यदि भुजाएं (B) 9 और 15 हैं, तो $9^2 + 15^2$ = 81 + 225 = 306 $\neq$ 218 और ऊँचाई आधार से 6 कम नहीं है। यदि भुजाएं (C) 10 और 16 हैं, तो $10^2 + 16^2$ = 100 + 256 = 356 $\neq$ 218 और ऊँचाई आधार से 6 कम नहीं है। यदि हम ऊँचाई को x मानते हैं, तो आधार x+6 होगा। $x^2 + (x+6)^2 = (\sqrt{218})^2$ $x^2 + x^2 + 12x + 36 = 218$ $2x^2 + 12x – 182 = 0$ $x^2 + 6x – 91 = 0$ इस समीकरण के हल x = $frac{-6 pm \sqrt{6^2 – 4(1)(-91)}}{2(1)} = frac{-6 pm \sqrt{36 + 364}}{2} = frac{-6 pm \sqrt{400}}{2} = frac{-6 pm 20}{2}$ होंगे। इसलिए x = $frac{-6 + 20}{2} = \frac{14}{2} = 7$ या x = $frac{-6 – 20}{2} = frac{-26}{2} = -13$। चूंकि ऊँचाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, ऊँचाई 7 से० मी० है और आधार 7+6=13 से० मी० है। भुजाएं 7 और 13 से० मी० हैं। दिए गए विकल्पों में से कोई भी 7 और 13 नहीं है।
कारण: माना समकोण त्रिभुज का आधार b से० मी० है। ऊँचाई (h) आधार से 6 से० मी० कम है, इसलिए h = b – 6 से० मी०। अतिभुज (कर्ण) c = $\sqrt{218}$ से० मी० है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, h$^2$ + b$^2$ = c$^2$ (b-6)$^2$ + b$^2$ = $(\sqrt{218})^2$ b$^2$ – 12b + 36 + b$^2$ = 218 2b$^2$ – 12b + 36 – 218 = 0 2b$^2$ – 12b – 182 = 0 पूरी समीकरण को 2 से भाग देने पर: b$^2$ – 6b – 91 = 0 इस द्विघात समीकरण को हल करने पर, हम पाएंगे कि इसके पूर्णांक हल नहीं हैं। वैकल्पिक रूप से, यदि भुजाएं (A) 5 और 11 हैं, तो $5^2 + 11^2$ = 25 + 121 = 146 $\neq$ 218 और ऊँचाई आधार से 6 कम नहीं है। यदि भुजाएं (B) 9 और 15 हैं, तो $9^2 + 15^2$ = 81 + 225 = 306 $\neq$ 218 और ऊँचाई आधार से 6 कम नहीं है। यदि भुजाएं (C) 10 और 16 हैं, तो $10^2 + 16^2$ = 100 + 256 = 356 $\neq$ 218 और ऊँचाई आधार से 6 कम नहीं है। यदि हम ऊँचाई को x मानते हैं, तो आधार x+6 होगा। $x^2 + (x+6)^2 = (\sqrt{218})^2$ $x^2 + x^2 + 12x + 36 = 218$ $2x^2 + 12x – 182 = 0$ $x^2 + 6x – 91 = 0$ इस समीकरण के हल x = $frac{-6 pm \sqrt{6^2 – 4(1)(-91)}}{2(1)} = frac{-6 pm \sqrt{36 + 364}}{2} = frac{-6 pm \sqrt{400}}{2} = frac{-6 pm 20}{2}$ होंगे। इसलिए x = $frac{-6 + 20}{2} = \frac{14}{2} = 7$ या x = $frac{-6 – 20}{2} = frac{-26}{2} = -13$। चूंकि ऊँचाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, ऊँचाई 7 से० मी० है और आधार 7+6=13 से० मी० है। भुजाएं 7 और 13 से० मी० हैं। दिए गए विकल्पों में से कोई भी 7 और 13 नहीं है।
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