6. $4^{x+1}+4^{1-x}=10$ का हल है
(A) $-\frac{1}{2}$
(B) $\frac{1}{2}$
(C) 0
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं
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कारण: दिए गए समीकरण को $4^x cdot 4^1 + 4^1 cdot 4^{-x} = 10$ के रूप में लिखा जा सकता है, जो $4 cdot 4^x + \frac{4}{4^x} = 10$ के बराबर है। माना y = $4^x$। तब समीकरण $4y + \frac{4}{y} = 10$ हो जाता है। पूरी समीकरण को y से गुणा करने पर $4y^2 + 4 = 10y$ प्राप्त होता है। इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर $4y^2 – 10y + 4 = 0$ प्राप्त होता है। इस द्विघात समीकरण को हल करने पर $2(2y^2 – 5y + 2) = 0 implies 2(2y-1)(y-2) = 0$ प्राप्त होता है। इसलिए, 2y-1 = 0 या y-2 = 0। यदि 2y-1 = 0, तो y = $\frac{1}{2}$। चूंकि y = $4^x$, $4^x = \frac{1}{2}$। इसे $(2^2)^x = 2^{-1} implies 2^{2x} = 2^{-1}$ लिखा जा सकता है। घातों की तुलना करने पर 2x = -1 $implies$ x = $-\frac{1}{2}$। यदि y-2 = 0, तो y = 2। चूंकि y = $4^x$, $4^x = 2$। इसे $(2^2)^x = 2^1 implies 2^{2x} = 2^1$ लिखा जा सकता है। घातों की तुलना करने पर 2x = 1 $implies$ x = $\frac{1}{2}$। इसलिए, समीकरण के दो हल x = $-\frac{1}{2}$ और x = $\frac{1}{2}$ हैं। विकल्पों को देखने पर, (A) $-\frac{1}{2}$ और (B) $\frac{1}{2}$ दोनों हल हैं, इसलिए उपर्युक्त में से एक से अधिक सही उत्तर है।
BPSC TRE 1.0 Exam 25 August 2023 Class 1 to 5 Paper 2 General Studies 1st Sitting (Official Answer Key)
उत्तर : (D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
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