7. $x^{3}-3x^{2}+x+2$ को एक बहुपद g(x) से विभाजित करने पर भागफल और शेष क्रमशः $(x^{2}-x+1)$ और $(-2x+4)$ हैं, तो g(x) है
(A) x-2
(B) $x^{2}+x+1$
(C) $x^{2}-1$
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं
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उत्तर : (A) x-2
कारण: बहुपद के विभाजन एल्गोरिथम के अनुसार, भाज्य = भाजक $\times$ भागफल + शेषफल। यहाँ, भाज्य p(x) = $x^{3}-3x^{2}+x+2$ है, भागफल q(x) = $x^{2}-x+1$ है, और शेषफल r(x) = -2x+4 है। भाजक g(x) ज्ञात करना है। $x^{3}-3x^{2}+x+2$ = g(x) $\times$ $(x^{2}-x+1)$ + $(-2x+4)$ $x^{3}-3x^{2}+x+2$ + 2x – 4 = g(x) $\times$ $(x^{2}-x+1)$ $x^{3}-3x^{2}+3x-2$ = g(x) $\times$ $(x^{2}-x+1)$ इसलिए, g(x) = $\frac{x^{3}-3x^{2}+3x-2}{x^{2}-x+1}$ बहुपद $x^{3}-3x^{2}+3x-2$ को $x^{2}-x+1$ से विभाजित करने पर हमें भागफल x-2 प्राप्त होता है। इसलिए, g(x) = x-2 है।
कारण: बहुपद के विभाजन एल्गोरिथम के अनुसार, भाज्य = भाजक $\times$ भागफल + शेषफल। यहाँ, भाज्य p(x) = $x^{3}-3x^{2}+x+2$ है, भागफल q(x) = $x^{2}-x+1$ है, और शेषफल r(x) = -2x+4 है। भाजक g(x) ज्ञात करना है। $x^{3}-3x^{2}+x+2$ = g(x) $\times$ $(x^{2}-x+1)$ + $(-2x+4)$ $x^{3}-3x^{2}+x+2$ + 2x – 4 = g(x) $\times$ $(x^{2}-x+1)$ $x^{3}-3x^{2}+3x-2$ = g(x) $\times$ $(x^{2}-x+1)$ इसलिए, g(x) = $\frac{x^{3}-3x^{2}+3x-2}{x^{2}-x+1}$ बहुपद $x^{3}-3x^{2}+3x-2$ को $x^{2}-x+1$ से विभाजित करने पर हमें भागफल x-2 प्राप्त होता है। इसलिए, g(x) = x-2 है।
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