109. यदि वर्ग का क्षेत्रफल, समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर है, तो वर्ग की भुजा और समबाहु त्रिभुज की भुजा का अनुपात है
(A) 1:1
(B) 2:1
(C) 3:2
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं
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उत्तर : (E) उपर्युक्त में से कोई नहीं
कारण: माना वर्ग की भुजा ‘s’ है और समबाहु त्रिभुज की भुजा ‘a’ है।
वर्ग का क्षेत्रफल = $s^2$
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = $(\sqrt{3} / 4) a^2$
प्रश्न के अनुसार, वर्ग का क्षेत्रफल = समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल
$s^2 = (\sqrt{3} / 4) a^2$
हमें वर्ग की भुजा (s) और समबाहु त्रिभुज की भुजा (a) का अनुपात (s/a) ज्ञात करना है।
$s^2 / a^2 = \sqrt{3} / 4$
दोनों तरफ वर्गमूल लेने पर:
$s / a = \sqrt{(\sqrt{3} / 4)}$
$s / a = (\sqrt{\sqrt{3}}) / (\sqrt{4})$
$s / a = (3^{1/4}) / 2$
अतः अनुपात $s : a = 3^{1/4} : 2$ है।
यह अनुपात दिए गए विकल्पों (1:1, 2:1, 3:2) में से किसी से मेल नहीं खाता। इसलिए, सही उत्तर (E) उपर्युक्त में से कोई नहीं है।
कारण: माना वर्ग की भुजा ‘s’ है और समबाहु त्रिभुज की भुजा ‘a’ है।
वर्ग का क्षेत्रफल = $s^2$
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = $(\sqrt{3} / 4) a^2$
प्रश्न के अनुसार, वर्ग का क्षेत्रफल = समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल
$s^2 = (\sqrt{3} / 4) a^2$
हमें वर्ग की भुजा (s) और समबाहु त्रिभुज की भुजा (a) का अनुपात (s/a) ज्ञात करना है।
$s^2 / a^2 = \sqrt{3} / 4$
दोनों तरफ वर्गमूल लेने पर:
$s / a = \sqrt{(\sqrt{3} / 4)}$
$s / a = (\sqrt{\sqrt{3}}) / (\sqrt{4})$
$s / a = (3^{1/4}) / 2$
अतः अनुपात $s : a = 3^{1/4} : 2$ है।
यह अनुपात दिए गए विकल्पों (1:1, 2:1, 3:2) में से किसी से मेल नहीं खाता। इसलिए, सही उत्तर (E) उपर्युक्त में से कोई नहीं है।
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