112. माना a = 10 से० मी०, b = 3 से० मी० और c = 6 से० मी०। निम्नलिखित में से कौन-सा सत्य है?
(A) a, b और c त्रिभुज की भुजा हैं।
(B) a, b और c समकोण त्रिभुज बनाते हैं।
(C) a, b और c समद्विबाहु त्रिभुज बनाते हैं।
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं
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उत्तर : (E) उपर्युक्त में से कोई नहीं
कारण: त्रिभुज की भुजाओं के लिए त्रिभुज असमानता प्रमेय (Triangle Inequality Theorem) का पालन होना आवश्यक है, जिसके अनुसार किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होना चाहिए।
जाँच करते हैं:
1. b + c > a ? => 3 + 6 > 10 ? => 9 > 10 ? (असत्य)
2. a + c > b ? => 10 + 6 > 3 ? => 16 > 3 ? (सत्य)
3. a + b > c ? => 10 + 3 > 6 ? => 13 > 6 ? (सत्य)
चूंकि पहली शर्त (b + c > a) पूरी नहीं हो रही है (9, 10 से बड़ा नहीं है), इसलिए इन भुजाओं से त्रिभुज का निर्माण संभव नहीं है।
जब त्रिभुज बन ही नहीं सकता, तो समकोण या समद्विबाहु होने का प्रश्न ही नहीं उठता। अतः दिए गए सभी कथन (A, B, C) असत्य हैं। सही उत्तर (E) उपर्युक्त में से कोई नहीं है।
कारण: त्रिभुज की भुजाओं के लिए त्रिभुज असमानता प्रमेय (Triangle Inequality Theorem) का पालन होना आवश्यक है, जिसके अनुसार किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होना चाहिए।
जाँच करते हैं:
1. b + c > a ? => 3 + 6 > 10 ? => 9 > 10 ? (असत्य)
2. a + c > b ? => 10 + 6 > 3 ? => 16 > 3 ? (सत्य)
3. a + b > c ? => 10 + 3 > 6 ? => 13 > 6 ? (सत्य)
चूंकि पहली शर्त (b + c > a) पूरी नहीं हो रही है (9, 10 से बड़ा नहीं है), इसलिए इन भुजाओं से त्रिभुज का निर्माण संभव नहीं है।
जब त्रिभुज बन ही नहीं सकता, तो समकोण या समद्विबाहु होने का प्रश्न ही नहीं उठता। अतः दिए गए सभी कथन (A, B, C) असत्य हैं। सही उत्तर (E) उपर्युक्त में से कोई नहीं है।
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