7. दो वृत्त आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं। उनके क्षेत्रफलों का योग 116 से० मी० 2 है और उनके केन्द्रों के बीच की दूरी 6 से० मी० है। वृत्तों की त्रिज्याएँ हैं, क्रमशः
(A) 16 से० मी० और 10 से० मी०
(B) 10 से० मी० और 4 से० मी०
(C) 12 से० मी० और 6 से० मी०
(D) उपर्युक्त में से एक से अधिक
(E) उपर्युक्त में से कोई नहीं
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उत्तर : (B) 10 से० मी० और 4 से० मी०
माना बड़े वृत्त की त्रिज्या $R$ और छोटे वृत्त की त्रिज्या $r$ है।
जब दो वृत्त आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं, तो उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के अंतर के बराबर होती है।
$R – r = 6$ …(1)
उनके क्षेत्रफलों का योग = $pi R^2 + pi r^2 = 116 pi$ (प्रश्न में $pi$ छूट गया है, सामान्यतः ऐसे प्रश्नों में यह होता है)
$R^2 + r^2 = 116$ …(2)
समीकरण (1) से, $R = r + 6$
इसे समीकरण (2) में रखें:
$(r+6)^2 + r^2 = 116$
$r^2 + 12r + 36 + r^2 = 116$
$2r^2 + 12r + 36 – 116 = 0$
$2r^2 + 12r – 80 = 0$
2 से भाग दें:
$r^2 + 6r – 40 = 0$
गुणनखंड करें:
$(r+10)(r-4) = 0$
चूँकि त्रिज्या ऋणात्मक नहीं हो सकती, $r = 4$ से० मी०।
अब $R$ का मान ज्ञात करें:
$R = r + 6 = 4 + 6 = 10$ से० मी०।
अतः त्रिज्याएँ 10 से० मी० और 4 से० मी० हैं। सही उत्तर (B) है।
माना बड़े वृत्त की त्रिज्या $R$ और छोटे वृत्त की त्रिज्या $r$ है।
जब दो वृत्त आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं, तो उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के अंतर के बराबर होती है।
$R – r = 6$ …(1)
उनके क्षेत्रफलों का योग = $pi R^2 + pi r^2 = 116 pi$ (प्रश्न में $pi$ छूट गया है, सामान्यतः ऐसे प्रश्नों में यह होता है)
$R^2 + r^2 = 116$ …(2)
समीकरण (1) से, $R = r + 6$
इसे समीकरण (2) में रखें:
$(r+6)^2 + r^2 = 116$
$r^2 + 12r + 36 + r^2 = 116$
$2r^2 + 12r + 36 – 116 = 0$
$2r^2 + 12r – 80 = 0$
2 से भाग दें:
$r^2 + 6r – 40 = 0$
गुणनखंड करें:
$(r+10)(r-4) = 0$
चूँकि त्रिज्या ऋणात्मक नहीं हो सकती, $r = 4$ से० मी०।
अब $R$ का मान ज्ञात करें:
$R = r + 6 = 4 + 6 = 10$ से० मी०।
अतः त्रिज्याएँ 10 से० मी० और 4 से० मी० हैं। सही उत्तर (B) है।
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